已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有an是n与Sn的等差中项．（1）求证：an=2an-1+1（n≥2）；（2）求证：数列{an+1}为等比数列；

网友回答

（1）证明：∵an是n与Sn的等差中项，
∴2an=n+Sn①
于是2an-1=n-1+Sn-1（n≥2）②
①-②得2an-2an-1=1+an
∴an=2an-1+1（n≥2）
（2）证明：当n≥2时，由an=2an-1+1得?an+1=2（an-1+1）
∴
当n=1时，2a1=1+S1即?2a1=1+a1
∴a1=1，a1+1=2
所以{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
（3）解：∵an+1=2?2n-1=2n
∴an=2n-1
∴
解析分析：（1）利用an是n与Sn的等差中项，以及an=sn-sn-1，推出an=2an-1+1（n≥2）即可；（2）利用（1）直接推出数列{an+1}为等比数列；（3）利用（2）求出通项公式，然后通过拆项法求数列{an}的前n项和Sn．

点评：本题考查数列的判断，通项公式的求法，前n项和的求法，考查计算能力．