如图，在矩形ABEF中，C、D分别是边BE、AF的中点，AB=10，AF=20，点P、Q分别是BC、CD边上的点，且AP⊥PQ．（1）证明：△ABP∽△PQC；（2）

网友回答

（1）证明：∵四边形ABEF是矩形，
∴AF=BE，AB=EF，∠BAF=∠ABE=∠AFE=∠BEF=90°．
又∵AB=10，AF=20，
∴AF=2AB，
∵C、D分别是BE、AF的中点，
∴四边形ABCD、CDFE是全等的正方形，
∴∠PCD=90°，
∴∠B=∠PCD，∠QPC+∠PQC=90°，
∵AP⊥PQ，
∴∠APB+∠QPC=90°，
∴∠APB=∠PQC，
∴△ABP∽△PQC；

（2）证明：在AB上截取AM=PC，
∵四边形ABCD、CDFE是全等的正方形，
∴AB=BC，∠ECF=45°，
∴BM=BP，∠PCH=135°，
∴∠BMP=45°，
∴∠AMP=135°，
∴∠AMP=∠PCH，
∵△ABP∽△PQC，
∴∠BAP=∠QPC，
∵在△AMP和△PCH中，
，
∴△AMP≌△PCH（ASA），
∴AP=PH；

（3）满足条件的点G是存在的，此时AG=BP．　　
证明如下：令DG与AP的交点为M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=AB，∠DAG=∠ABP，
∵在△DAG和△ABP中，
，
∴△DAG≌△ABP（SAS），
∴DG=AP，∠AGD=∠BPA．
∵AP=PH，∠BAP+∠BPA=90°，
∴DG=HP，∠BAP+∠AGD=90°，
∴∠AMG=90°，
即AP⊥DG，
∵AP⊥PH，
∴DG∥PH，
∴四边形GPHD是平行四边形．
解析分析：（1）由在矩形ABEF中，C、D分别是边BE、AF的中点，AB=10，AF=20，易证得四边形ABCD、CDFE是全等的正方形，即可得∠B=∠PCQ=90°，又由等角的余角相等，即可证得∠APB=∠PQC，则可得：△ABP∽△PQC；
（2）首先在AB上截取AM=PC，易证得△AMP≌△PCH，则可证得AP=PH；
（3）令DG与AP的交点为M，易证得△DAG≌△ABP，即可得DG=AP=PH，DG⊥AP，又由AP⊥PQ，即可证得DG∥PH，即可证得四边形GPHD是平行四边形．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的判定与性质以及平行四边形的判定．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．