已知函数(a∈R)
(1)若f(1)=1,求实数a的值并计算f(-1)+f(3)的值;
(2)若不等式f(x)≥0对任意的x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当a=-1时,设g(x)=f(x+b),是否存在实数b使g(x)为奇函数.若存在,求出b的值;若不存在,说明理由.
网友回答
(本题12分)
解:(1)∵f(1)=1,
∴,即1+a=1,∴a=0
∴,
∴.
(2)∵f(x)≥0,即,
亦即对任意的x∈[1,+∞)恒成立,
设,
∵,
∴h(x)在x∈[1,+∞)时是增函数,所以hmin(x)=h(1)=-1
∴a≥-1即可.
故实数a的取值范围是[-1,+∞).
(3)∵a=-1,
∴,
∴,
方法一:
∵g(x)是奇函数,且x∈R,∴g(0)=0
∴,∴2b-1=21-b,即2b-1=1,所以b=1.
当b=1时,,∵,
∴g(x)是奇函数.
故存在b=1,使g(x)是奇函数.
方法二:
∵g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x),令b-1=c
即
∴22c+2-2x-22x-2-2c=-(22c+22x-2-2x-2-2c)
∴22c-2-2c=0,即24c=1,即c=0,即b=1.
方法三:【这种做法也给分】
当b=1时,,
∵,∴g(x)是奇函数.
所以存在b=1,使g(x)是奇函数.
解析分析:(1)由f(1)=1,知1+a=1,由此能求出实数a的值和f(-1)+f(3)的值.
(2)由f(x)≥0,知对任意的x∈[1,+∞)恒成立,构构造函数,能求出实数a的取值范围.
(3)由a=-1,知,由此能推导出存在b=1,使g(x)是奇函数.
点评:本题考查函数值的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法,探索使得函数为奇函数的实数值是否存在.解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.