设（1）指出f（x）的单调性，说明理由；（2）求F（x）=4x-2f（x）的值域．

网友回答

解：（1）∵，
∴1-2x＞0，解得x∈（-∞，0）
设，
∵u=1-2x在（-∞，0）上是减函数，y=log2u是增函数，
∴由复合函数单调性的性质，知y=lg2（1-2x）在（-∞，0）上单调递减．
（2）∵，
∴2f（x）==1-2x，
∵F（x）=4x-2f（x），
∴F（x）=4x-（1-2x）（x＜0），
令2x=t，则t∈（0，1），
y=t2+t-1=（t+）2-，
∴当t=0时，ymin=（0+）2-=-1；
当t→1时，ymax→（1+）2-=1，
∴F（x）=4x-2f（x）的值域为[-1，1）．
解析分析：（1）由，知x∈（-∞，0），设，由此利用复合函数单调性的性质能判断f（x）的单调性．
（2）由，把F（x）=4x-2f（x）等价转化为F（x）=4x-（1-2x）（x＜0），由此利用换元法和二次函数的性质能求出F（x）=4x-2f（x）的值域．


点评：本题考查函数的单调和值域的求法，解题时要合理地运用换元法和复合函数单调性的性质、二次函数的性质．