数列不等式请问：A1=1,A(n+1)=(An)/2+1/An,证明：根号2<(An)/2+1/An

网友回答

证明：A1>0,则易从递推公式看出An>0记sqrt()为开根号,square root
A(n+1)-sqrt(2)=An/2+1/An-sqrt(2)
=(An^2-2sqrt(2)An+2)/(2An)
=(An-sqrt(2))^2/(2An)
前面给出了An>0的结论,还有当An不等于sqrt(2)时,(An-sqrt(2))^2>0,所以：A(n+1)-sqrt(2)>0即,类似于数学归纳法：
A1不等于sqrt(2),则A2>sqrt(2)
A2>sqrt(2),则A3>sqrt(2)
...A(n)>sqrt(2),则A(n+1)=An/2+1/An>sqrt(2)
左边不等式得证.
现在证明右边不等式：
前面证明了An>sqrt(2),n>=2,则：A(n+1)-sqrt(2)=(An-sqrt(2))^2/(2An)
=(1/2)*[1-(sqrt(2)/An)]*(An-sqrt(2))
由于An>sqrt(2),则1-(sqrt(2)/An)A(n+1)-sqrt(2)=2
从而有：A(n+1)-sqrt(2)->A(n+1)注意到3/2-sqrt(2)A(n+1)显然2^n>n,则1/(2^n)=1,不等式放缩得：
A(n+1)右边不等式得证
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
用数学归纳法吧
对于根号2=2根号(ab)即可
还有就是不知道根号2+1/n中的1/n是在根号里面还是外面？