已知：在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F，则△PEF面积最大值是________．
网友回答
解析分析：设PD=x，S△PEF=y．根据平行线的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定，证明△PEF≌△QFE、△AEP∽△AQD、△PDF∽△ADQ，相似三角形的比是相似比的平方，再由三角形AQD与梯形ABCD的面积公式求得梯形的高，代入S△PEF=（S△AQD-S△DPF-S△APE）÷2，得出关于x的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF面积最大值．
解答：解：设PD=x，S△PEF=y，S△AQD=z，梯形ABCD的高为h，∵AD=3，BC=4，梯形ABCD面积为7，∴解得∵PE∥DQ，∴∠PEF=∠QFE，∠EPF=∠PFD，又∵PF∥AQ，∴∠PFD=∠EQF，∴∠EPF=∠EQF，∵EF=FE，∴△PEF≌△QFE（AAS），∵PE∥DQ，∴△AEP∽△AQD，同理，△DPF∽△DAQ，∴=，=（）2，∴S△PEF=（S△AQD-S△DPF-S△APE）÷2，∴y=-x2+x，∵y最大值==，即y最大值=．∴△PEF面积最大值是．
点评：本题综合考查了二次函数的最值、三角形的面积、梯形的面积以及相似三角形的判定与性质．