矩阵的迹的证明,矩阵的迹 到底有什么物理意义呢？

网友回答

设A为n阶方阵，则矩阵A的特征多项式为
　　a11-λ a12 ... a1(n-1) a1n
　　a21 a22-λ ... a2(n-1) a2n
　　.... ... ... .... ...
　　an1 an2 ... an(n-1) ann-λ
　　=f(λ) (上述为行列式）
　　同时，设矩阵的特征值为λ1，λ2。。。。λn
　　即当λ=λi(i=1,2,.......n)时 (A-λE)X=0有非零解
　　根据齐次线性方程组解存在的定理可得 IA-λEI=0
　　即 f(λ)=0
　　故λi均为f(λ)=0的解
　　于是 f(λ)=(λ1-λ)(λ2-λ).........(λn-λ)
　　显然，当令λ=0时，f(λ)=λ1λ2...λn
　　而此时行列式
　　a11-λ a12 ... a1(n-1) a1n
　　a21 a22-λ ... a2(n-1) a2n
　　... ... ... ... ...
　　an1 an2 ... an(n-1) ann-λ
　　=
　　a11 a12 ... a1(n-1) a1n
　　a21 a22 ... a2(n-1) a2n
　　... ... ... ... ...
　　an1 an2 ... an(n-1) ann
　　=IAI
　　于是 IAI=λ1λ2...λn，即矩阵特征值的连乘等于矩阵的行列式的值
　　再将 f(λ)=(λ1-λ)(λ2-λ).........(λn-λ)展开可得
　　λ^(n-1)的系数为-1^(n-1)*(λ1+λ2+..............+λn)
　　再看行列式
　　a11-λ a12 ... a1(n-1) a1n
　　a21 a22-λ ... a2(n-1) a2n
　　... ... ... ... ...
　　an1 an2 ... an(n-1) ann-λ
　　=f(λ) (上述为行列式）
　　若要出现λ^(n-1),则必有对角线上的(n-1)项相乘，且这(n-1)项均提供λ,而剩下的系数也只能是对角线上余下的一项中的常数提供
　　因此，可得λ^(n-1)的系数为-1^(n-1)*(a11+a22+...+ann）
　　于是 λ1+λ2+...+λn=a11+a22+...+ann
　　即 矩阵特征值的和等于矩阵主对角线上元素的和

网友回答

简化计算步骤
　　在数值分析中，由于数值计算误差，测量误差，噪声以及病态矩阵，零奇异值通常显示为很小的数目。
　　将一个矩阵分解为比较简单或者性质比较熟悉的矩阵之组合，方便讨论和计算。由于矩阵的特征值和特征向量在化矩阵为对角形的问题中占有特殊位置， 因此矩阵的特征值分解。尽管矩阵的特征值具有非常好的性质，但是并不是总能正确地表示矩阵的“大小”。　　
　　扩展资料：性质
　　(1)设有N阶矩阵A，那么矩阵A的迹（用　　表示）就等于A的特征值的总和，也即矩阵A的主对角线元素的总和。　　1、迹是所有对角元素的和
　　2、迹是所有特征值的和
　　3、某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹
　　4、tr（mA+nB）=m tr（A）+n tr（B）
　　参考资料来源：百度百科—矩阵的迹