如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．（1）求证：线段AB为⊙P的

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（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，
∴AB是⊙P的直径．

（2）解：设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），
∵点P是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，∴mn=12．
如答图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM=m，ON=n．
由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，
∴S△AOB=BO?OA=×2n×2m=2mn=2×12=24．

（3）证明：若点Q为反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，
参照（2），同理可得：S△COD=DO?CO=24，
则有：S△COD=S△AOB=24，即BO?OA=DO?CO，
∴DO?OC=BO?OA．
解析分析：（1）∠AOB=90°，由圆周角定理的推论，可以证明AB是⊙P的直径；
（2）将△AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来，容易计算出结果；
（3）对于反比例函数上另外一点Q，⊙Q与坐标轴所形成的△COD的面积，依然不变，与△AOB的面积相等．

点评：本题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大．试题的核心是考查反比例函数系数的几何意义．对本题而言，若反比例函数系数为k，则可以证明⊙P在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于4k；对于另外一点Q所形成的⊙Q，此结论依然成立．