如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1，E1，F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，连接D1E1，E1F1，F1D1，可得△D1E1F1．
（1）用S表示△AD1F1的面积S1=，△D1E1F1的面积S1′=；
（2）当D2，E2，F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB时，如图②，求△AD2F2的面积S2和△D2E2F2的面积S2′；
（3）按照上述思路探索下去，当Dn，En，Fn分别是等边△ABC三边上的点，且ADn=BEn=CFn=AB时（n为正整数），求△ADnFn的面积Sn，△DnEnFn的面积Sn′．
网友回答
解：（1）设等边△ABC的边长是a，
∵AD1=AF1，∠A=60°，
∴△AD1F1是等边三角形，
同理其余三个三角形都是等边三角形，
∴△AD1F1≌△BE1D1≌△CF1E1≌△D1E1F1，
∴S1=S，S1'=S．
（2）设△ABC的边长为a，则△AD2F2的面积，
又因为△ABC的面积，所以S2=S，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
又∵AD2=BE2=CF2，AF2=BD2=CE2，
由“SAS”得出△AD2F2≌△BE2D2≌△CF2E2，
∴S2′=S-3S2=S-3×S=S．
（3）设△ABC的边长是a，
则Sn=?a?a?sin60°=S，
同理证明△ADnFn≌△BEnDn≌△CFnEn，
∴Sn′=S-3×S=S．
解析分析：（1）根据已知条件，可以知道图中四个小三角形都是全等的等边三角形，所以面积相等，每个都是全部的；
（2）与上问比较，发现分点的位置由原来的二等分点变成了现在的三等分点，同样易证中间的小三角形是等边三角形，而其余的三个全等，从而得出结果；
（3）与上问比较，只是分点的位置由原来的三等分点变成了（n+1）等分点，所以做法与（2）完全一样．
点评：做有规律的题目时，在由特殊到一般的过程中，要善于抓住不变量，找到解题途径．此题比较难，要求学生有比较好的分析问题、解决问题的能力．