如图,AB是⊙O的直径,C是AB延长线上一点,点D在⊙O上,且∠A=30°,∠ABD=2∠BDC.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)过点O作OF∥AD,分别交BD、CD于点E、F.若OB=2,求OE和CF的长.
网友回答
(1)证明:连结OD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.??
∵∠A=30°,
∴∠ABD=60°.
∵∠ABD=2∠BDC,
∴∠BDC=∠ABD=30°.
∵OD=OB,
∴△ODB是等边三角形.
∴∠ODB=60°.
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°.
∴CD是⊙O的切线.
(2)解:∵OF∥AD,∠ADB=90°,
∴OF⊥BD,∠BOE=∠A=30°.?…
∵BD=OB=2,
∴DE=BE=BD=1.
∴OE==.
∵OD=OB=2,∠DOC=60°,∠DOF=30°,
∴CD=OD?tan60°=2,DF=OD?tan30°=.
∴CF=CD-DF=2-=.
解析分析:(1)首先连接OD,由AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得∠ADB=90°,又由∠A=30°,∠ABD=2∠BDC,易证得△ODB是等边三角形,继而求得∠ODC=90°,即CD是⊙O的切线;
(2)由三角函数的性质,即可求得CD与DF的长,继而求得