已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和小圆相切于点C，过点C作大圆的弦DE，使DE⊥OA，垂足为F，DE交小圆于另一点G．求证：AF?AO=DC?DG

网友回答

证明：连接OC，
∵AB是小圆切线，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC，
∵AB与DE相交于C，
∴CA?CB=CD?CE，
∴AC2=CD?CE，①
∵OC⊥AC，CF⊥OA，
∴△ACO∽△AFC，
∴=，
∴AC2=AF?AO，②
∵OF⊥DE，
∴CF=GF，DF=EF，
∴DF+FG=EF+CF，
∴DG=EC，③
由①、②、③，可得AF?AO=DC?DG．

解析分析：连接OC，根据相交弦定理可得，AC?BC=DC?CE，又AB是小圆的切线，故OC⊥AB，根据垂径定理，可得AC=BC，故AC2=DC?CE；又因为OC⊥AB，DE⊥OA，所以有∠AFC=∠ACO=90°，且∠CAF=∠OAC，那么△ACF∽△AOC，可得比例线段AC：AF=AO：AC，即AC2=AO?AF；于是有AO?AF=DC?CE；而DE⊥OA，利用垂径定理，可得DF=EF，CF=FG，等量加等量和相等，可得DG=CE，等量代换可得AO?AF=DC?DG．

点评：本题利用了垂径定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、等量代换等知识．