已知：如图，AB为⊙O的直径，C为圆外一点，AC交⊙O于点D，且BC2=CD?CA，，BE交AC于F，（1）求证：BC为⊙O切线．（2）判断△BCF形状并证明．（3）

网友回答

（1）证明：∵BC2=CD?CA，即BC：CA=CD：BC，
而∠C公共，
∴△CBD∽△CAB，
∴∠CBD=∠BAC，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°，即AB⊥BC，
∴BC为⊙O切线；

（2）△BCF为等腰三角形．证明如下：
∵，
∴∠DAE=∠BAC，
而△CBD∽△CAB，
∴∠BAC=∠CBD，
∴∠CBD=∠DAE，
而∠DAE=∠DBF，
∴∠DBF=∠CBD，
而∠BDF=90°，
∴△BCF为等腰三角形；

（3）解：∵BC2=CD?CA，BC=15，CD=9，
∴CA=25，BF=BC=15，DF=DC=9，
∴BD==12，
∴AF=25-18=7，
∴S△ABF=?AE?BF=?AF?BD，
∴AE==，
易证Rt△AEF∽Rt△BDF，
∴EF：DF=AF：BF，即EF：9=7：15，
∴EF=，
∴BE=15+=，
∵∠ADE=∠ABE，
∴tan∠ADE=tan∠ABE==．
解析分析：（1）由BC2=CD?CA，根据三角形相似的判定得到△CBD∽△CAB，根据三角形相似的性质得到∠CBD=∠BAC，而AB为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得∠ADB=90°，易证得∠ABD+∠CBD=90°，根据切线的判定即可得到