若函数f(x)=ab,其中a=(2cosx,cosx+sinx),b=(sinx,cosx-sinx)若函数f(x)=向量a*向量b,其中向量a=(2cosx,cosx+sinx),向量b=(sinx,cosx-sinx)1、求f(x)的图像对称中心和对称轴方程：2、对任意x属于[0,Pi/2],有f(x)小于m^2+m+根号2-2恒成立,求实数m的取值范围.
网友回答
(1).已知向量a=(2cosx,cosx+sinx),向量b=(sinx,cosx-sinx)
而函数f(x)=向量a*向量b,
所以,f(x)=2sinxcosx+(cosx+sinx)(cosx-sinx)
=2sinxcosx+cos²x-sin²x
=sin2x+cos2x
=√2sin(2x+π/4)
f(x)的图像对称中心(-π/8+kπ/2,0),k∈Z
f(x)的图像对称轴方程为x=π/8+kπ/2,k∈Z
(2).对任意x∈[0,π/2],有f(x)＜m²+m+√2-2恒成立,
由x∈[0,π/2],2x+π/4∈[π/4,π],
f(x)max=f(π/8)=√2
由题知,f(x)＜m²+m+√2-2恒成立,
所以,√2＜m²+m+√2-2
m²+m-2＞0
得m∈(-∞,-2)∪(1,+∞)
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
a=(2cosx,cosx+sinx),向量b=(sinx,cosx-sinx)
a*b=2cosxsinx+cos^2x-sin^2x(二倍角公式）=sin2x+cos2x=根号下2sin(2x+π/4
对称轴是2x+π/4=kπ x= kπ/2-π/8 对称中心2x+π/4=kπ+π/2 x=kπ/2+π/8
即（kπ/2+π/8， 0）
x属于[0,π/2] 那么2x+π/4属于[π/4,5π/4]
要令f(x)f(x)的最大值
f(x)的最大值是根号2 即解方程m^2+m+根号2-2>根号2供参考答案2:
f(x)=2cosxsinx+cos^2x-sin62x=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)
令2x+π/4=kπ x=kπ/2 -π/8 对称中心(kπ/2 -π/8,0)
令2x+π/4=kπ+ π/2 对称轴x=kπ/2 +π/8
x∈[0,π/2] 2x+π/4∈[π/4,5π/4] √2sin(2x+π/4)∈[-1,√2]
f(x)≤√2＜m^2+m+根号2-2 m^2+m-2>0 m1供参考答案3:
f（x）=2cosxsinx+cosx方-sinx方
=sin2x+cos2x
=根号2倍sin（2x+π/4)可知为正弦函数，所以对称轴即最高最低点，kπ+π/2=2x+π/4解得x=kπ/2+π/8对称中心即与横轴交点，kπ=2x+π/4解得x=kπ/2-π/82f(x)小于恒成立，即原式大于f（x）的最大值根号2即m^2+m-2>0即（m-1)(m+2)>0即m1供参考答案4:f(x)=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=根号2sin(2x+Pi/4);1.对称中心:（kPi/2-Pi/8,0）,对称轴方程:x=kPi/2+Pi/8;2.f(x)最大=根号21