现有20个质量均匀分布的正方体，每个正方体的边长分别为L、2L、3L、…、19L、20L，将边长为20L的正方体放在水平地面上，然后将边长为19L的正方体放在边长20L的正方体上表面的中央．依次方法，放置余下的所有正方体．若在任意接触面上的压强均相等，且最上面边长为L的正方体的密度为ρ，则这20个正方体中密度最小的正方体的密度等于________ρ，边长为10L的正方体的密度为________ρ．
网友回答
解析分析：本题需要利用数列计算；首先假设由上至下数第n正方体的密度分别为ρn，则ρ1=ρ．
然后利用L和n表示出第n个正方体的体积Vn、质量Mn、底面面积Sn；根据任意接触面上的压强均相等，找出质量的关系式，由此求出第n个正方体的质量Mn代数式，于是可利用密度公式得出密度表达式，最后即可利用这个表达式讨论和计算．
解答：由上至下数第n个正方体，边长为nL，设其密度为ρn，则由题意知：ρ1=ρ．
用Vn、mn、Sn 分别为由上至下数第n个正方体的体积、质量、底面面积，
则：Vn=（nL）3、
Mn=Vnρn、
Sn=（nL）2．
所以第n个正方体以上的所有正方体的总质量为：
Tn=M1+M2+…+Mn，
这时第n个正方体对下一正方体或地面的接触面上的压强为：
Pn==．
根据题意在任意接触面上的压强均相等，即Pn为常数，
则对于任意大于1的正整数，都有：Pn=Pn-1，
即：=，
∴=，
化简得：Tn=×T（n-1），
因此：n=1时，T1=M1=V1ρ1=L3ρ，
????? n=2时，T2=×T1=4L3ρ=22×L3ρ，
????? n=3时，T3=M1+M2+M3=×T2=9L3ρ=32×L3ρ
…
所以可得出：Tn=n2L3ρ，
于是可得：Mn=Tn-T（n-1）=（2n-1）L3ρ
所以第n个正方体的密度ρn==．
则由此可知：n越大，ρn值越小，
所以n=20时密度最小，密度为ρ20==ρ；
边长为10L的正方体的密度为ρ10==ρ．
故