试证明.对一切x∈R都有.当且仅当时等号成立．利用这个结果.求函数y =sin x+cos

要证明，只要证明：sin 2 x＋2sin x · cos x＋cos 2 x≤2，

只要证明对一切x∈R都有：2sinx · cos x≤1，

只要证明：2sin x · cos x ≤ sin 2 x＋cos 2 x，

即证明：(sin x－cos x)2 ≥0．

因为对任意x∈R，不等式(sinx－cos x)2≥0总成立，且上述各步都可逆，所以对一切x∈R，都有．论证中可以看出：当且仅当sin x－cos x =0，即tan x =1时，不等式中的等号成立，也就是说当且仅当时，（k∈Z），．

函数y =sin x · cos x＋sin x＋cos x中，把sin x用cos x表示或者把cos x用sin x表示都要出现根式，不便于求最大、最小值．注意到

，

则有：．

令sin x＋cos x =t，如本题所证知：．

只要考查关于t的二次函数的最大、最小值，这个二次函数图象是开口向上的抛物线的一段弧，

∵ ，可见：

当t =－1时，该函数有最小值－1；当时，该函数有最大值．

　　   综上分析知：

当x =2kπ＋π或时，函数y =sin x · cos x＋sin x＋cos x有最小值－1；

当时，该函数有最大值．