给定锐角三角形,求其内接三角形中周长最小者．

网友回答

分成几部分来证明：
1.先在BC上任取一点D,固定D,求出以D为一个顶点△ABC的内接三角形中周长最小者.
作D关于AB 、AC的对称点D' 、D'' ,连D'D'' ,交 AB、AC于点F 、E,连DF、D'F、DE 、D''E,对于任一以D为一个顶点的△ABC的内接三角形DPQ ,连 QD'、QD 、PD'' 、PD,于是可证
DE+EF+FD=D'D≤D'Q+QP+PD''=DQ+QP+PD
．即△DEF为固定点 后周长最小的内接三角形.
2.当点D在BC上运动时,对每一点D,都作出1中得出的周长最小三角形,再求这些三角形的周长最小值.
连AD 、 AD'、AD'',则AD=AD'=AD'',且∠D'AB=∠DAB ,∠D'AC=∠DAC ,于是 ．∠D'AD''=2∠A,所以D'D''=2ADsinA .
当点D 在BC上运动时,以点D为BC边上高的垂足时AD 最小.
3.说明此时的最小三角形就是△ABC的垂足三角形.
由于D为BC边上的垂足．对于垂足三角形△DEF ,由∠DEC=∠AEF ,而∠DEC=∠CED'',故点E在DD''上,同理,F在 DD''上,即△DEF 为所求得的周长最小三角形．