已知:如图,AB是⊙O的弦,∠OAB=45°,C是优弧AB上一点,BD∥OA,交CA延长线于点D,连接BC.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)若AC=,∠CAB=75°,求⊙O的半径.
网友回答
(1)证明:连接OB,如图.
∵OA=OB,∠OAB=45°,
∴∠1=∠OAB=45°.
∵AO∥DB,
∴∠2=∠OAB=45°.
∴∠1+∠2=90°.
∴BD⊥OB于B.
∴又点B在⊙O上.
∴BD是⊙O的切线.
(2)解:作OE⊥AC于点E.
∵OE⊥AC,AC=,
∴AE==.
∵∠BAC=75°,∠OAB=45°,
∴∠3=∠BAC-∠OAB=30°.
∴在Rt△OAE中,
解法二:如图
延长AO与⊙O交于点F,连接FC.
∴∠ACF=90°.
在Rt△ACF中,.
∴AO==4.
解析分析:(1)连接OB,如图.根据题意得,∠1=∠OAB=45°.由AO∥DB,得∠2=∠OAB=45°.则∠1+∠2=90°.即BD⊥OB于B.从而得出CD是⊙O的切线.
(2)作OE⊥AC于点E.由OE⊥AC,AC=,求得AE,由∠BAC=75°,∠OAB=45°,得出∠3.在Rt△OAE中,求得OA即可.
点评:本以考查了切线的判定和性质,以及解直角三角形,是基础知识要熟练掌握.