发布时间：2021-02-22 12:47:47
（本小题满分14分）已知椭圆的离心率. 直线（）与曲线交于不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 若圆与轴相交于不同的两点，求的面积的最大值.
【解析】本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识.
（1）解：∵椭圆的离心率,
∴. …… 2分
解得.
∴ 椭圆的方程为． …… 4分
（2）解法1：依题意，圆心为．
由 得.
∴ 圆的半径为． …… 6分
∵ 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，
∴ ，即．
∴ 弦长． …… 8分
∴的面积 …… 9分
. …… 12分
当且仅当，即时，等号成立.
∴ 的面积的最大值为． …… 14分
解法2：依题意，圆心为．
由 得.
∴ 圆的半径为． …… 6分
∴ 圆的方程为．
∵ 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，
∴ ，即．
在圆的方程中，令，得，
∴ 弦长． …… 8分
∴的面积 …… 9分
. ……12分
当且仅当，即时，等号成立.
∴ 的面积的最大值为． …… 14分