如图,等腰三角形ABC中,以腰AB为直径的⊙O交底边BC于点D,交AC于点E,连接DE.
(1)求证:BD=DE;
(2)若⊙O的半径为3,BC=4,求CE的长.
网友回答
(1)证明:连接AD,
∵AB为圆O的直径,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴D为BC的中点,即BD=CD,
∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角,
∴∠DEC=∠B,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠DEC=∠C,
∴DE=DC,
∴BD=DE;
(2)解:∵∠DEC=∠B,∠C=∠C,
∴△DEC∽△ABC,
∴=,即=,
则EC=.
解析分析:(1)连接AD,由AB为直径,得到AD垂直于BC,利用三线合一得到D为BC的中点,由四边形ABDE为圆O的内接四边形,利用圆内接四边形的外角等于它的内对角得到∠DEC=∠B,再由AB=AC,利用等边对等角得到∠B=∠C,利用等量代换得到∠DEC=∠C,利用等角对等边即可得证;
(2)BC的长求出CD的长,再由∠DEC=∠B,∠C为公共角,利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形DEC与三角形ABC相似,由相似得比例,即可求出CE的长.
点评:此题考查了圆周角定理,相似三角形的判定与性质,以及等腰三角形的性质,熟练掌握圆周角定理是解本题的关键.