如图,在矩形ABCD中,点O是AC的中点,AC=2AB,延长AB到点G,使BG=AB,连结GO交BC于点E,延长GO交AD于点F.(1)求证:四边形AECF是菱形;(

发布时间:2020-08-13 15:05:00

如图,在矩形ABCD中,点O是AC的中点,AC=2AB,延长AB到点G,使BG=AB,连结GO交BC于点E,延长GO交AD于点F.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)连结CG,若AE=3cm,延长AE交线段CG于点M,求AM的长.

网友回答

(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,
∴∠FAO=∠ECO,
又∵BG=AB,AC=2AB,O为AC中点,
∴AO=CO=AB,AC=AG,
在△AOG和△ABC中,,
∴△AOG≌△ABC(SAS),
∴∠ABC=∠AOG=90°,
在△AOF和△COE中,,
∴△AOF≌△COE(ASA),
∴AF=CE,
∴四边形AECF为平行四边形,
又∵AC⊥EF,
∴四边形AECF为菱形;

(2)在Rt△ABC中,由AB=AC可推出∠ACB=30°,
由菱形可得EA=EC,
∴∠EAO=30°,
∵AE=3cm,
∴OE=AE=cm,AO===cm,
AC=2AO=3cm,
延长AE交CG于点M,∵AC=AG且∠CAE=∠GAE=30°,
∴AM⊥CG,
∴CM=AC=cm,
∴AM===cm.
解析分析:(1)根据中点定义可得AC=2AO,然后求出AO=AB,AC=AG,再利用“边角边”证明△AOG和△ABC全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ABC=∠AOG=90°,再利用“角边角”证明△AOF和△COE全等,根据全等三角形对应边相等可得AF=CE,然后求出四边形AECF为平行四边形,最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明;
(2)先求出∠ACB=30°,再根据菱形的性质EA=EC,然后根据等边对等角求出∠EAO=30°,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OE,再利用勾股定理列式计算求出AO,从而得到AC的长度,然后求出∠CAE=∠GAE=30°,根据等腰三角形三线合一的性质以及直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CM,再利用勾股定理列式计算即可求出AM.

点评:本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定与性质,熟记各图形的性质与判定方法找出三角形全等的条件是解题的关键.
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