如图,⊙O的弦AB∥CD,直径BE平分AD于点G,交弦CD于点H,过点B作BF∥AD交CD延长线于点F.
(1)求证:BF与⊙O相切;
(2)求证:DF=DH;
(3)若弦AB=5cm,AD=8cm,求⊙O的半径.
网友回答
(1)证明:∵直径BE平分AD于点G,
∴BE⊥AD,
∵BF∥AD,
∴EB⊥BF,
∴BF与⊙O相切;
(2)∵AB∥CD,
∴∠ABG=∠GHD,∠A=∠GDH,
在△ABG和△DHG中,
,
∴△ABG≌△DHG(AAS),
∴AB=DH,
∵AB∥CD,AD∥BF,
∴四边形ADFB是平行四边形,
∴DF=AB,
∴DF=DH;
(3)连接OA,
∵BE⊥AD,
∴AG=AD=×8=4(cm),∠BGA=90°,
∵AB=5cm,
∴BG===3(cm),
设OA=xcm,则OG=OB-BG=x-3(cm),
∵OA2=OG2+AG2,
∴x2=16+(x-3)2,
解得:x=.
∴⊙O的半径cm.
解析分析:(1)由直径BE平分AD于点G,根据垂径定理即可证得BE⊥AD,又由BF∥AD,即可得EB⊥BF,即可证得BF与⊙O相切;
(2)易证得△ABG≌△DHG,即可得AB=DH,又由AB∥CD,BF∥AD,可得四边形ADFB是平行四边形,即可证得DF=AB,则可证得DF=DH;
(3)首先在Rt△ABG中求得BG的长,然后设OA=xcm,由OA2=OG2+AG2,可得方程x2=16+(x-3)2,解此方程即可求得