如图，G、H分别是两个有公共顶点B的等腰直角三角形斜边的中点，P是两直角顶点连线CE的中点．（1）如图1，当A、B、D在同一条直线上，探究PG、PH的关系，并说明理由

网友回答

解：（1）PG=PH．
如图1∵△ABC和△BDE是等腰直角三角形，
∴∠A=∠EBD=45°，∠D=∠CBA=45°，
∴AC∥BE，BC∥DE，
∴四边形ABEC和四边形BDEC是梯形，
∵G，H，P分别是AB，BD，CE的中点，
∴GP，HP分别是梯形ABEC和梯形BDEC的中位线，
∴PG∥AC，PH∥BC，
∴∠PGH=∠PHG=45°
∴PG=PH．

（2）仍然成立；理由如下：
连接CG，并延长至M，使得CG=GM，连接ME、BM；
连接EH，并延长至N，使得EH=HN，连接CN、BN；

则PG、PH分别是△CME、△ECN的中位线；
等腰△ABC中，G是AB中点，则CG⊥AG；
而CG=GM，则四边形AMBC的对角线相等且互相垂直平分，
即四边形AMBC是正方形，△CBM是等腰直角三角形；
同理△EBN也是等腰直角三角形；
∴CB=BM，BE=BN，且∠CBM=∠EBN=90°；
又∵∠MBE=∠CBN=90°+∠CBE，
∴△MBE≌△CBN，得ME=CN；
又∵ME=2PG，CN=2PH，
则PG=PH．
所以（1）题的结论依然成立．
解析分析：（1）此题要根据梯形中位线定理求解，易得PG、PH分别是梯形ACEB、梯形CBDE的中位线，不论从边的角度还是从角的角度都可以挣到PG=PH．
（2）此题需要利用全等三角形和三角形中位线定理求解；首先连接CG，并延长至M，使得CG=GM，同理，连接EH，并延长至N，使得EH=HN，那么PG、PH分别是△CME和△ECN的中位线，判定PG、PH是否相等，只需判断ME和CN是否相等即可；连接MB、BN，易得CB=BM、EB=BN，而∠MBE=∠CBN=90°+∠CBE，由此可证得CM、CN所在的三角形全等，即可得到PG=PH仍然成立的结论．

点评：此题主要考查了梯形中位线、三角形中位线定理的应用，同时还涉及到等腰直角三角形、全等三角形的相关知识，难度较大．