已知函数f(x)=x|x+1|-x-2.是否存在区间[m,n],使得函数的定义域与值域均为[m,n]

网友回答

定义域值域都是[m,n]的情况    即考虑抛物线与y=x的关系即可,通过图像很好理解
思路就是先找到抛物线与y=x的交点,再看这一段中抛物线的最大/最小值是否也在这段定义域内.
f(x)=x|x+1|-x-2
x>=-1时 ： f(x)=x(x+1)-x-2 =x^2-2   对称轴为x=0,开口向上,[-1,0)单调递减[0,+∞）单调递增
已知函数f(x)=x|x+1|-x-2.是否存在区间[m,n],使得函数的定义域与值域均为[m,n],(图1)
所以先另y(m)=m  即x^2-2 =x , (x-2)(x+1)=0 x=2或-1, 这一段中x=0时最小值为-2,所以要取
[-2,2].这段满足上述要求, 下面再分析[-2,-1]这段是否也满足要求.
 
x<-1时,  f(x)=x[-(x+1)]-x-2=-x^2-2x-2=-（x+1）^2-1
对称轴为x=-1, 开口向下 
在[-2,-1]的值域为[-1,-2] 也满足条件, 则上式的[-2,2] 满足要求. （碰巧[-2,-1]这段也满足要求,不过下面再用相同方法做一遍）
 
再单独考虑x<-1时情况.令-x^2-2x-2=x,  (-x-2)(x+1)=0 x=-2或-1
已知函数f(x)=x|x+1|-x-2.是否存在区间[m,n],使得函数的定义域与值域均为[m,n],(图2)所以与y=x的交点是x=-2和x=-1   由于是开口向下的,看最大值在不在范围内.
最大值为-1在范围内,所以[-2,-1]这段也满足