已知：如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（O，）．以线段AB为一边作等边△ABC，且点C在反比例函数y=的图象上．（1）求一次函数

网友回答

解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（O，），
∴，
解得：，
故此一次函数的关系式为：y=-x+；

（2）以AB为一边可以作两个等边△ABC，则顶点C有两个，分别为C1、C2，
设在第一象限的点C1（p，q），过C1作C1⊥AB于E，
∵A（3，0），B（O，），
∴OB=，AB==2，
∵△ABC1是等边三角形，
∴AC1=2，AE=，
∴AB=AC1，AE=OB，
∵在Rt△AOB和Rt△C1EA中，
，
∴Rt△AOB≌Rt△C1EA（HL），
∴∠BAO=∠AC1E=30°，
∴∠C1AO=90°，
∴C1A⊥x轴，
∴p=3，
过C1作C1F⊥y轴于F，
则四边形OAC1F是矩形，
∴OF=AC1=2，
∴q=2，
∴C1（3，2）；
∵C1点在y=的图象上，
∴m=6；
又∵OB=，∠OBA=60°，
∴C2（0，-），且C2点不可能在双曲线y=的图象上，
∴m值只有一个，即m=6；

（3）存在．
理由：∵P在OB的垂直平分线上，
∴P在第一象限或第二象限，
∴P点有两个，分别为P1，P2，
设在第一象限的点P1（a1，），
根据题意，△ABP1的面积为：m=3，
∵S△ABC=AB?CE=×2×3=3，
∴S△ABC=S△ABP1，
设△ABP1中AB边上的高h，
由三角形的面积公式，当S△ABC=S△ABP1时，
则h=C1E，
∴C1P1∥AB，
设经过C1P1的直线的表达式为y1=k1x+b1，
则k1=k=-，
∵C1（3，2），代入y1=k1x+b1得：2=×3+b1，
解得：b1=3，
∴经过C1P1的直线的表达式为y1=x+3，
点?P1（a1，）在直线上C1P1上，
把点P1（a1，）的坐标代入y1=x+3，
∴=×a1+3，
∴a1=；
同理，设在第二象限的点P2（a2，），
设经过C2P2的直线的表达式为y2=k2x+b2，
∵点C2（0，-）在直线y2=k2x+b2上，
∴，b2=-，
∴y2=x-，
∵P2（a2，）在直线y2=x-上，
∴a2=-，
∴P2（-，）；
∴符合要求的P点有两个，分别为P1（，），P2（-，）．
解析分析：（1）由一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（O，），利用待定系数法即可求得此一次函数的关系式；
（2）由以AB为一边可以作两个等边△ABC，则顶点C有两个，分别为C1、C2，可设在第一象限的点C1（p，q），过C1作C1⊥AB于E，易证得C1A⊥x轴，则可求得C1的坐标；由∠ABO=60°，OB=AB，易得C2（0，-）也可使得△ABC是等边三角形，继而可求得m的值；
（3）由△ABP的面积等于m，易得S△ABC=S△ABP；即可证得CP∥AB，即可求得直线CP的解析式，继而可求得P点的坐标．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、等边三角形的性质以及三角形面积问题．此题综合性强，难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．