定义在区间（0，+∞）上的函数f?（x）满足：（1）f（x）不恒为零；（2）对任意a∈R+，b∈R，都有f（ab）=bf（a）．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）求证方程f

网友回答

（Ⅰ）解：∵f?（ab）=bf?（a），
令a=1，b=2，
∴f?（1）=f?（12）=2f?（1），
∴f?（1）=0．
（Ⅱ）证明：由（1）知，存在x0∈（0，+∞），使得f?（x0）≠0，显然x0≠1．
任取x1∈（0，+∞）且x1≠1，则
必存在实数q，使得x1=x0q，q≠0．
由（2）知f?（x1）=f?（x0q）=qf?（x0）≠0，
故f?（x）=0有且只有一个实数根x=1．
（Ⅲ）证明：对任意的0＜x1＜x2＜+∞，
存在实数p1，p2，使得x1=2p1，x2=2p2，且p1＜p2，
f?（x1）-f?（x2）=f?（2p1）-f?（2p2）
=p1f?（2）-p2f?（2）
=（p1-p2）?f?（2）＜0，
∴f?（x1）＜f?（x2），
∴函数f?（x）在（0，+∞）上单调递增．
解析分析：（Ⅰ）依题意，令a=1，b=2，即可求得f（1）的值；
（Ⅱ）由（1）知，存在x0∈（0，+∞），使得f?（x0）≠0，任取x1∈（0，+∞）且x1≠1，结合题意即可证得方程f（x）=0有且只有一个实数根；
（Ⅲ）对任意的0＜x1＜x2＜+∞，存在实数p1，p2，使得x1=2p1，x2=2p2，且p1＜p2，作差判断即可证得结论．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的判断与证明，属于中档题．