已知函数y=f（x）对任意的实数x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时，f（x）＜0（1）求f（0）；（2）判断函数y=f

网友回答

解：（1）解令x2=0，由f（x1+0）=f（x1）+f（0）
即：f（x1）=f（x1）+f（0），解之得f（0）=0
（2）函数y=f（x）在区间 （-∞，+∞）是减函数
证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2
则f（x2）-f（x1）=f[x1+（x2-x1）]-f（x1）=f（x1）+f（x2-x1）-f（x1）=f（x2-x1），
∵x1＜x2，得x2-x1＞0．
∴由当x＞0时f（x）＜0，得f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）＜0
可得f（x1）＞f（x2）
∴函数y=f（x）在区间（-∞，+∞）是减函数
（3）∵f（0）=0且f（x）+f（2-3x）=f[x+（2-3x）]=f（2-2x），
∴不等式f（x）+f（2-3x）＜0转化为f（2-2x）＜f（0），
又∵f（x）在区间（-∞，+∞）是减函数
∴2-2x＞0，解之得x＜1，即x的取值范围为（-∞，1）
解析分析：（1）在题中所给函数关系式中取x2=0，化简即可计算出f（0）的值等于0；
（2）设x1，x2∈R，且x1＜x2，根据题中运算法则化简得f（x2）-f（x1）=f（x2-x1），结合当x＞0时f（x）＜0证出f（x2-x1）＜0，可得f（x1）＞f（x2），从而得到函数y=f（x）在区间（-∞，+∞）是减函数；
（3）根据题中运算法则化简得f（x）+f（2-3x）=f（2-2x），结合f（0）=0将不等式f（x）+f（2-3x）＜0转化为f（2-2x）＜f（0），结合函数的单调性即可解出实数x的取值范围．


点评：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的单调，并依此解关于x的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法．