对于任意正数a,b有f(ab)=f(a)+f(b),且f(1)的导数=1 证明f(x) 在零到正无穷

网友回答

试一下吧第一题：f(a)=f(a)+f(1)
f(1)=0
f(b/b)=f(b)+f(1/b)=0
f(b)=-f(1/b)
f(a/b)=f(a)-f(b)
lim((f(a)-f(b))/(a-b))=lim(f(a/b)/(a-b))=lim(f(1+(a-b)/b)/(a-b))=lim((f(1+(a-b)/b)-f(1))/((a-b)/b))/b a-b趋于0 即(a-b)/b趋于0
f'(b)=f'(1)/b=1/b
f(b)=lnb+C
代入f(1)=0得C=0
所以f(x)=lnx
第二题f(x)=f(x)*f(0)
f(x)=0(不满足f(0)的导数=2)或f(0)=1
lim((f(x+dx)-f(x))/(dx))=lim((f(x)*f(dx)-f(x))/(dx))=lim(f(x)*(f(dx)-1)/(dx))=f(x)*lim((f(0+dx)-f(0))/(dx))=f(x)*f'(0)=2*f(x) dx趋于0
即f'(x)=2*f(x)
ln(y)=2*x+C
代入f(0)=1得C=0
所以y=exp(2*x)
（这么多小括号,可能多少半个我自己也搞不清楚了）
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
我先个你说第一题
我想楼主你好想是说错了
因为当你把f（ab）=f（a）+f（b）中的a带0
可得f（b）=0 b在0到正无穷的范围内
所以f（x）在其定义域范围内的函数值是0
所以f（x）在其定义域范围内不是增减函数，所以导数为一直为0不能是1，然后我就没有接下来继续做
第二题f（0+x）=f（0）+f（x） （两边都小去f（x））
f（0）= 0
在求f（0）的导数=[f（x+0）-f（x）]/[x-0]=2 （当x 趋近无穷小的时候）
f（x）/x=2
所以f（x）=2x
兄弟我给你说下以后你遇到这样的题怎么做
1看到 f(ab)=f(a)+f(b), f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),
就先带几个函数的特殊值把单个f(x)求出来，然后给他凑成某点的导数的形式，这样就能导出来f(x）关于x的一个关系式，然后写成最简形式就哦了！！！！！
所有都证完 还有什么不会的就加我好友吧 一起研究
供参考答案2:第一题:f(1)的导数=1,故f（x）的导数有两种形式：x或1/x，对其进行积分得f(x)=(1/2)x^2+p或f(x)=lnx+q，｛p,q为实数｝，因为对于任意正数a,b有f(ab)=f(a)+f(b),所以将f(x)=(1/2)x^2+p和f(x)=lnx+q分别代入，f(x)=(1/2)x^2+p显然不对，故将f(x)=lnx+q代入得出q=0满足上式，所以推出f(x)=lnx 证明：任意的M＞0，存在N＞0，当Ix-x0I第二题：什么函数的导数取0值时还等于自然数，显然是指数函数，由此得出f(x)=ae^bx＋c{a,b,c为实数},因为f(x)函数满足f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),其中x1,x2为任意实数，代入验证得：a=1,b=2,c=0,所以f(x)=e^2x 说明：这个没有什么特定的方法来判定，只有通过平时做题的积累，题目做多了你就能一眼看出这是什么函数！供参考答案3:1.证明:设b=x (变量) a=常数 y=ax..........................(1)则:f(y)=f(ax)=f(a)+f(x)等式两边取x的导数a*f(y)对y的导数=f(x)对x的导数f(y)对y的导数=(1/a)*f(x)对x的导数...(2)由(1)(2)知:f(x)的导数与x成反比例f(x)对x的导数=c/x. (c=常数) ,而f(1)的导数=1知f(x)对x的导数=1/x即f(x) 在零到正无穷可导设y=f(x) 则dy/dx=1/x dy=1/xdx则∫dy=∫1/xdx由此可知y=f(x)=lnx+d . d为常数而f(1)=f(1)+f(1) , f(1)=0