在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，CE为△ACD的角平分线，EF⊥BC于点F，EF交CD于点G（1）如图1，求证：BE=CG；（2）如图2，点M在AC上，A

网友回答

（1）证明：过点A作AP⊥BC于点P，∠APB=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAP=∠PAC，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=180°-∠CDB=90°，
∵∠B+∠BAP=180°-∠APB=90°，
∴∠BAP=∠PAC=∠BCD，
∵CE平分∠DCA，
∴∠ACE=∠ECD，
∵∠APC+∠PCA+∠PAC=180°，
∴∠ACE+∠DCE+∠PCD+∠PAC=180°
∴2（∠BCD+∠ECD）=90°，
∴∠BCE=45°，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°
∴∠FEC=180°-∠EFC-∠ECF=45°，
∴∠FEC=∠ECF，
∴EF=FC，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=∠APC=90°，
∴EF∥AP，
∴∠BEF=∠BAP=∠BCD，
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=∠EFC=90°，
∵在△BFE和△GFC中

∴△BFE≌△GFC（ASA），
∴BE=CG；

（2）过点E作ER⊥AC于点R
∵CE?平分∠DCA??CD⊥AB，ER⊥AC，
∴ED=ER，
∵AD=3ED，
∴AE=2ER，
延长ER至点S使ER=RS，
∵ER⊥AC，
∴AE=AS，
∵AE=2ER=ES
∴△AES为等边三角形
∴∠EAS=60°，
∴∠BAC=∠EAS=30°，
∵GH⊥EC，∠FEC=45°，
∴∠EGH=180°-90°-45°=45°
∴∠EGH=∠GEH，
∴EH=HG，
∵△EGH的面积为18，
∴，
∴EH=GH=6，
∵∠DCA=180°-∠ADC-∠BAC=60°，
∴∠DCE=30°，
∵GH=6，∠GHC=90°
∴CG=12
由（1）知BE=CG=12，
∵AM=AD，AB=AC，∠BAM=∠CAD
∴△BAM≌△CAD，
∴∠ABM=∠ACD=60°，
∵∠DEC=180°-∠EDC-∠ECD=60°
∴∠DEC=∠EBN，NE=NB，
∴△EBN为等边三角形，
∴EN=BE=12．
解析分析：（1）过点A作AP⊥BC于点P，求出∠BAP=∠PAC，求出∠BAP=∠PAC=∠BCD，∠ACE=∠ECD，推出2（∠BCD+∠ECD）=90°，求出∠BCE=∠FEC=45°，推出EF=FC，求出∠BEF=∠BAP=∠BCD，∠BFE=∠EFC=90°，根据ASA证出△BFE≌△GFC即可；
（2）过点E作ER⊥AC于点R，根据角平分线性质求出ED=ER，求出AE=2ER，延长ER至点S使ER=RS，得出△AES为等边三角形，求出∠EAS=60°，求出∠EGH=∠GEH，推出EH=HG，根据△EGH的面积求出EH=GH=6，求出CG=12，证△BAM≌△CAD，推出∠ABM=∠ACD=60°，推出△EBN为等边三角形，根据等边三角形的性质推出EN=BE=12即可．

点评：本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用．