如图,正方形AOCB的边长为4,点C在x轴上,点A在y轴上,E是AB的中点.(1)直接写出点C、E的坐标;(2)求直线EC的解析式;(3)若点P是直线EC在第一象限的

发布时间:2020-07-29 23:35:53

如图,正方形AOCB的边长为4,点C在x轴上,点A在y轴上,E是AB的中点.
(1)直接写出点C、E的坐标;
(2)求直线EC的解析式;
(3)若点P是直线EC在第一象限的一个动点,当点P运动到什么位置时,图中存在与△AOP全等的三角形?请画出所有符合条件的图形,说明全等的理由,并求出点P的坐标.

网友回答

解:(1)C(4,0)、E(2,4);

(2)设直线EC的解析式为:y=kx+b(k≠0).
∵点C(4,0)、E(2,4)在该函数图象上,
∴点C(4,0)、E(2,4)满足该函数的解析式y=kx+b(k≠0),
∴,
解得,,
∴直线EC的解析式为:y=-2x+8;

(3)当P与点E、C重合时,或点P在∠AOC的角平分线与EC的交点时,图中存在与△AOP全等的三角形(如图所示);
证明:①当P与点E重合时.
在△AOE和△ECB中,
AO=BC(正方形的边长都相等),
AE=BE(E点是AB的中点),
∠OAE=∠CBE=90°(正方形的四个角都是直角),
∴△AOE≌△ECB,即△AOP≌△PCB(HL);
此时P(2,4);
②当P与点C重合时,不符合题意;
③当点P在∠AOC的角平分线与EC的交点时.
在△AOP与△COP中,
OA=OC(正方形的边长),
OP=PO(公共边),
∠AOP=∠COP,
∴△AOP≌△COP(SAS);
∴PA=PC(全等三角形的对应边相等);
∵点P在直线EC上,
∴设P(x,-2x+8),
∴x2+(-2x+4)2=(x-4)2+(-2x+8)2,
解得,x=;
∴-2x+8=,
∴P(,).

解析分析:(1)根据正方形的边长来求点C的横坐标,由E点是AB的中点求其横坐标是正方形边长AB4的一半,纵坐标是正方形边长AO的长度4;(2)根据函数图象上的点的坐标特征解答.设直线EC的解析式为:y=kx+b(k≠0),然后将C、E两点代入,由待定系数法求解析式即可;(3)要使所求的三角形与△AOP全等,当P与点E、C重合时,或点P在∠AOC的角平分线与EC的交点时.

点评:本题主要考查了一次函数综合题.本题需利用待定系数法和全等三角形的性质来解决问题,另外本题也是一道综合性较强的题目,解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.
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