如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B，过点B作BC⊥y轴，BC与函数y=ax2+bx+c的图象交于点C（2，4）．（1

网友回答

解：（1）∵BC⊥y轴，点C（2，4），
∴点B的坐标为（0，4），
又∵抛物线还经过点A（5，0），C（2，4），
∴，
解得，
所以，抛物线的解析式为y=-x2+x+4，
令y=0，则-x2+x+4=0，
整理得，x2-2x-15=0，
解得x1=-3，x2=5，
所以，点D的坐标为（-3，0），
∴AD=5-（-3）=5+3=8，
△BDA的面积=AD?OB=×8×4=16；

（2）①∵PC∥AQ，CQ∥PA，
∴四边形AQCP是平行四边形，
∴PC=AQ，
∵PQ2=PA2+PC2，
∴PQ2=PA2+AQ2，
∴∠PAQ=90°，
∴∠APC=180°-∠PAQ=180°-90°=90°，
又∵∠PBC=∠AOP=90°，
∴∠APO+∠PAO=90°，∠APO+∠BPC=90°，
∴∠PAO=∠BPC，
∴△AOP∽△PBC，
∴=，
设OP=x，表示出BP=4-x，
∴=，
整理得，x2-4x+10=0，
∵△=b2-4ac=（-4）2-4×1×10=-24＜0，
∴该方程没有实数根，
∴不否存在点P，使得PQ2=PA2+PC2；

②如图，连接AC，与PQ相交于点E，
∵A（5，0），C（2，4），
∴点E的坐标为（，2），
∵四边形AQCP是平行四边形，
∴PE=EQ，
由垂线段最短可知PQ⊥y轴时PE最小，
∴PQ的值最小，
此时，点P的纵坐标与点E的纵坐标相同，为2，
∴点P的坐标为（0，2），
故存在点P（0，2），使得PQ取得最小值．
解析分析：（1）求出点B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答，然后令y=0，解关于x的一元二次方程求出点D的坐标，再求出AD的长，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）①先判断出四边形AQCP是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得PC=AQ，然后根据勾股定理逆定理判断出∠PAQ=90°，再求出∠APC=90°，然后求出△AOP和△PBC相似，设OP=x，表示出BP，然后根据相似三角形对应边成比例列式整理，再利用根的判别式解答；
②连接AC，与PQ相交于点E，先求出点E的坐标，再根据平行四边形的对角线互相平分可得PE=EQ，再根据垂线段最短可知PQ⊥y轴时PQ的值最小，然后写出点P的坐标即可．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根的判别式的利用，垂线段最短，（2）②确定出PQ与y轴垂直时取值最小是解题的关键．