直线AB过抛物线x2=2py的焦点9.并与其相交于A.B两点.Q是线段AB的中点.M是抛物

网友回答

解：由（1）条件M(0,-),F(0,)，设直线AB的方程为

y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2)则=2py1,=2py2,Q().

由消去y并整理得x2-2pkx-p2=0.

根据韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-p2.

进而有y1y2=,

y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk2+p.

∴=(x1,y1+)·(x2,y2+)

=x1x2+y1y2+(y1+y2)+

=-p2++(2pk2+p)+

=p2k2≥0.

∴的取值范围是.

（2）抛物线的方程可化为y=x2,求导得.

从而kNA=.

∴切线NA的方程为y-(x-x1),

即y=,

切线NB的方程为y-(x-x2),即y=.

由

∴N（）,

而x1+x2=2pk,x1x2=-p2,

∴N(pk,-).

而M(0,-),Q()即(pk,pk2+).

∴=(pk,0),=(0,pk2+p),

又=(0,),∴=0,∥.

（3）由于=4p2,而根据(1)知=p2k2,

∴4p2=p2k2,又p＞0,∴k2=4,k=±2.

由于=(-pk,p),

=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,)

=(x2-x1)(1,)=(x2-x1)(1,k),

∴=(-pk,p)·(x2-x1)(1,k)

=(x2-x1)(-pk+pk)=0.

从而,又=

||=y1+y2+p=2pk2+2p=2p(k2+1)=10p.

∴SΔABN==.

而SΔABN的取值范围是[5]，

∴.

而p＞0,所以1≤p≤2.

由（1）知直线AB的方程为y=kx+,

即有y=±2x+,1≤p≤2.

所以直线AB在x、y轴上的截距有

当k=-2,p=1时,为;

当k=-2,p=2时,为和1;

当k=2,p=1时，为-;

当k=2,p=2时，为-和1.

从而动线段KL的轨迹所形成的平面区域如图所示，其面积为S=S

=

=.