已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足f（x）+f（y）=f（x+y）+2，当x＞0时，f（x）＞2．（1）求证：f（x）在R上是增函数；（2）当f（3）=5时，解不

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解：（1）设x1＜x2，则x2-x1＞0，
∵x＞0，f（x）＞2；
∴f（x2-x1）＞2；
又f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）-2＞2+f（x1）-2=f（x1），
即f（x2）＞f（x1）．
所以：函数f（x）为单调增函数
（2）∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-2=[f（1）+f（1）-2]+f（1）-2=3f（1）-4=5
∴f（1）=3．
即f（a2-2a-2）＜3?f（a2-2a-2）＜f（1）
∴a2-2a-2＜1?a2-2a-3＜0
解得：-1＜a＜3．
解析分析：（1）直接设x1＜x2，根据x＞0，f（x）＞2得到f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）-2＞2+f（x1）-2=f（x1），即可得到结论；
（2）先根据f（3）=5以及f（x）+f（y）=f（x+y）+2可得到f（1）=3，再把所求不等式转化为a2-2a-2＜1，解之即可．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，属于中档题．