如图(1),点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点,连接CN、DM.
(1)判断CN、DM的数量关系与位置关系,并说明理由;
(2)如图(2),设CN、DM的交点为H,连接BH,求证:△BCH是等腰三角形;
(3)将△ADM沿DM翻折得到△A′DM,延长MA′交DC的延长线于点E,如图(3),求tan∠DEM.
网友回答
证明:(1)CN=DM,CN⊥DM,
∵点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点,
∴AM=DN.AD=DC.∠A=∠CDN,
∴△AMD≌△DNC(SAS),
∴CN=DM.∠CND=∠AMD,
∴∠CND+∠NDM=∠AMD+∠NDM=90°,
∴CN⊥DM,
∴CN=DM,CN⊥DM;
(2)延长DM、CB交于点P.
∵AD∥BC,
∴∠MPC=∠MDA,∠A=∠MBP,
∵MA=MB,
∴△AMD≌△BMP(AAS),
∴BP=AD=BC.
∵∠CHP=90°,
∴BH=BC,
即△BCH是等腰三角形;
(3)∵AB∥DC,
∴∠EDM=∠AMD=∠DME,
∴EM=ED.
设AD=A′D=4k,则A′M=AM=2k,
∴DE=ME=EA′+2k.
在Rt△DA′E中,A′D2+A′E2=DE2,
∴(4k)2+A′E2=(EA′+2k)2,
解得A′E=3k,
∴在直角△A′DE中,tan∠DEM=A′D:A′E=.
解析分析:(1)CN=DM,CN⊥DM,由于点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点,所以AM=DN,AD=DC,∠A=∠CDN,由此证明
△AMD≌△DNC,然后利用全等三角形的性质证明 CN=DM,CN⊥DM;
(2)延长DM、CB交于点P.由AD∥BC得到∠MPC=∠MDA,而∠A=∠MBP,MA=MB,由此证明△AMD≌△BMP,然后利用全等三角形的性质即可证明题目结论;
(3)由AB∥DC,得到∠EDM=∠AMD=∠DME,接着得到EM=ED,设AD=A′D=4k,则A′M=AM=2k,那么DE=EA′+2k.而在Rt△DA′E中,A′D2+A′E2=DE2,由此可以得到关于A′E用k表示的结论,然后利用三角函数的定义即可求解.
点评:此题主要考查了正方形的性质,同时也利用了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数的定义,综合性比较强,要求学生对于这些知识点比较熟练才能很好解决问题.