已知函数（x≠0，常数k∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）若k=8，证明：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解

网友回答

解：（1）当k=0?时，f（x）?是偶函数；
当k≠0?时，f（x）?既不是奇函数，也不是偶函数．?
证明：①当k=0?时，f（x）=x2?（x≠0?），
∴f（-x）=（-x）2=x2=f（x），
∴f（x）?是偶函数；?????????
②当k≠0?时，f（-1）=1-k，f（1）=1+k，
∴f（-1）+f（1）=1-k+1+k=2≠0，
∴f（-1）≠-f（1）；?????????????????
又f（-1）-f（1）=1-k-1-k=-2k≠0，
∴f（-1）≠f（1）．???????????????????
∴f（x）?
既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）由f（x）=f（a）?得，，
化简整理得，，
由x-a=0?得，方程的一个解x1=a；??????????
由?得，ax2+a2x-8=0，①
∵a＞3?
，∴△=a4+32a＞0，
解①得??，，
∵x2＜0，x3＞0，∴x2＜x3，
又x1＞0，∴x1＞x2．????????????????????????????????
若x1=x3，即，
则，
∴a4=4a，解得a=0?或，与a＞3?矛盾，∴x1≠x3?
故原方程有三个实数解．
解析分析：（1）由已知易判断出函数的定义域为R，关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，即可根据函数奇偶性的定义，进行判断得到结论；
（2）先由f（x）=f（a）?得，，化简整理得，由x-a=0?得，方程的一个解x1=a；由?得，ax2+a2x-8=0，①解①得?有两个解，从而得出故原方程有三个实数解．

点评：本小题主要考查根的存在性及根的个数判断、函数奇偶性的应用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．