数学问题:已知曲线C:x^2-y^2=1及直线l:y=kx-11,已知曲线C:x^2-y^2=1及直线l:y=kx-1 (1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围 答案:(-√2,-1)∪(-1,1)∪(1,√2) (2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且三角形AOB的面积为√2,求实数k的值 答案:k=0或k=±√6/22,经过双曲线x^2-y^2/3=1的右焦点F2
网友回答
11)直线l:y=kx-1本身过固定点P(0,-1);
将y=kx-1代入双曲线方程得
(1-k^2)x^2 +2kx -2 =0;
使1-k^2≠0 →k≠±1,
且:上式的判别式▲=4k^2 +8(1-k^2)=8-4k^2 ＞0,→-√2＜k＜√2.
于是,实数k的取值范围就是(-√2,-1)∪(-1,1)∪(1,√2)
2)由(1-k^2)x^2 +2kx -2 =0中的韦达定理得
x1+x2=2k/(k^2 -1);
x1·x2=2/(k^2 -1);
则(x1-x2)^2=(x1+x2)^2 -4·x1·x2
=(8-4k^2)/(k^2 -1)^2
则|AB|=√[(1+k^2)·(x1-x2)^2]
=2√[(1+k^2)·|2-k^2|] /|k^2 -1|;
由点到直线距离公式得,O到AB即直线l:y=kx-1距离为
L=|-1|/√(1+k^2)=1/√(1+k^2);
于是可知,S△AOB=(1/2)*L*|AB|=2√|2-k^2| /|k^2 -1|;
则2√|2-k^2| /|k^2 -1|=√2;
解得k=0或k=±√6/2
21)F2的坐标为(2,0).
设直线AB的方程为：
y=tan30°*(x-2)
与x^2-y^2/3=1联立,得
8x^2+4x-13=0,
∴|AB|=[√(1+k^2)]*|x1-x2|=(3/2)√3,
2)∵|F1A|-|F2A|=1,
|F1B|-|F2B|=1,
∴|F1A|+|F1B|
=2+|AB|,
∴△ABF1的周长等于
4+2|AB|=4+3√3
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
直线l:y=kx-1本身过固定点P(0,-1);
将y=kx-1代入双曲线方程得
(1-k^2)x^2 +2kx -2 =0;
使1-k^2≠0 →k≠±1,
且: 上式的判别式▲=4k^2 +8(1-k^2)=8-4k^2 ＞0，→-√2＜k＜√2.于是,实数k的取值范围就是(-√2,-1)∪(-1,1)∪(1,√2)
2)由(1-k^2)x^2 +2kx -2 =0中的韦达定理得
x1+x2=2k/(k^2 -1);
x1·x2=2/(k^2 -1);
则(x1-x2)^2=(x1+x2)^2 -4·x1·x2
=(8-4k^2)/(k^2 -1)^2
则|AB|=√[(1+k^2)·(x1-x2)^2]
=2√[(1+k^2)·|2-k^2|] /|k^2 -1|;
由点到直线距离公式得,O到AB即直线l:y=kx-1距离为
L=|-1|/√(1+k^2)=1/√(1+k^2);
于是可知,S△AOB=(1/2)*L*|AB|=2√|2-k^2| /|k^2 -1|;
则2√|2-k^2| /|k^2 -1|=√2;
解得k=0或k=±√6/2
21)F2的坐标为(2,0)。设直线AB的方程为：
y=tan30°*(x-2)
与x^2-y^2/3=1联立，得8x^2+4x-13=0，∴|AB|=[√(1+k^2)]*|x1-x2|=(3/2)√3，2)∵|F1A|-|F2A|=1,
|F1B|-|F2B|=1,
∴|F1A|+|F1B|
=2+|AB|,
∴△ABF1的周长等于
4+2|AB|=4+3√3