如图，△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′．求证：
（1）AA′、BB′、CC′交于一点P；
（2）设△ABC三边中点分别为A1、B1、C1，则P为△A1B1C1的外心．
网友回答
证明：（1）设圆O半径为R．
由△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′，
知：BC′=B′C=R，∠C′BA=∠C′AB=∠OAB，∠B′CA=∠B′AC=∠OAC，
∴∠C′BA+∠B′CA=∠OAB+∠OAC=∠BAC，
∴∠C′BC+∠B′CB=∠BAC+∠ABC+∠BCA=180°，
∴BC′∥B′C，
∴BB′，CC′互相平分，交于中点，
同理CC′，AA′互相平分，交于中点，
∴AA′、BB′、CC′交于一点P；
（2）∵P为CC′中点，A1为BC中点，
∴PA1=B′C=R，
同理PB1=R，PC1=R，
∴PA1=PB1=PC1，
∴P是△A1B1C1的外心．
解析分析：（1）根据对称的性质，得到BC′=B′C=R，∠C′BA=∠C′AB=∠OAB，∠B′CA=∠B′AC=∠OAC，进一步得到∠C′BC+∠B′CB=∠BAC+∠ABC+∠BCA=180°，根据平行线的判定证明BC′∥B′C，则得到平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分，得到BB′，CC′互相平分，交于中点，同理得CC′，AA′互相平分，交于中点，从而证明结论；
（2）根据三角形的中位线定理，得到PA1=B′C=R，同理，得PB1=R，PC1=R，则点P到△A1B1C1的三个顶点的距离相等，从而证明结论．
点评：此题综合运用了对称的性质、平行线的判定、平行四边形的性质和判定、三角形的中位线定理等，综合性强，有难度．