求方程x3=2y3+4z3的整数解．

网友回答

解：显然（0，0，0）为方程的一组解，设（x1，y1，z1）为方程的另一组非零解，则利用奇偶性可知：x1为偶数，x1=2x2
则8x23=2y3+4z3，即4x23=y13+2z13
∴y1为偶数：y1=2y2
∴8x23=4x23-2z13，即4y23=2x23-z13
∴z1为偶数：z1=2z2
∴8z23=2x23-4y23，即4z23=x23-2y23
∴x2为偶数
如此循环反复，有（x，y，z）为方程解，
则（）为方程的解，…，（）为方程的解
∴而（）不可能永远为偶数．
∴只有x=y=z=0为方程的解．
解析分析：首先根据方程x3=2y3+4z3的整数解很容易确定（0，0，0）为方程的一组解．再假设（x1，y1，z1）为方程的另一组非零解，则观察方程x3=2y3+4z3及根据整数奇偶性可知：x1为偶数，假设x1=2x2．根据同样的原理，也可确定y为偶数、z为偶数，并且循环反复，有（x，y，z）为方程解．因而有均为方程的解．而不可能永远为偶数．因而只能是（0，0，0）这一组解．

点评：解决本题主要是验证当x、y、z为偶数时，不存在，进而只能确定（0，0，0）为方程的这一组解．