正方形abcd的边长为1,p,q分别ad,cd上的动点,且三角形PQD的周长为2,求角PBQ大小和三角形PBD面积最小值
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正方形ABCD的边长为1,P,Q分别AD,CD上的动点,且三角形PQD的周长为2,求角PBQ大小和三角形PBD面积最小值 思路：过B做PQ的垂线,交PQ于E.实际上 BE=AB=1 而且,PE=PA QE=QC 那么PDQ的周长=PE+PD+DQ+QE =AP+PD+DQ+QC=AD+CD=2.下面证明这一点.过B做PQ的垂线,交PQ于E.设PD长a,DQ长度b,PQ长度为c,BE长度为h 那么三角形PBQ的面积是 c*h/2 由题意,以下等式成立 a+b+c=2 ,c=2-a-b 正方形的面积=1 =三角形PAB+ PDQ + BQC + BPQ 的面积总和 = 1*(1-a)/2 + a*b/2 + 1*(1-b)/2 + (2-a-b)*h/2 整理后得到 ab + 2-a-b + (2-a-b)*h = 2 ab + (2-a-b)*(1+h) = 2 .(1) 另外,角D是直角,于是c^2 = a^2 + b^2 (2-a-b)^2 = a^2+b^2 a^2+b^2+4-4a-4b+2ab = a^2+b^2 4-4a-4b+2ab = 0 2-2a-2b+ab=0 ab + 4-2a-2b = 2 ab + (2-a-b)*2 = 2 .(2) 由（1）（2）可知,h只有一种可能.h = 1 BE=1=AB PB=PB 角PAB = 角PEB = 90度,根据勾股定理,AP=EP,PAB 与 PEB全等,PA = PE 角EBP=角PBA 同理有 EQ = CQ 角EBQ=角CBQ 角EBP + 角PBA + 角EBQ + 角CBQ=90度 2（角PBE+角EBQ）=90度 角PBE+角EBQ = 角PBQ=45度 !第二问 PBD的最小值当然是 P=D点的位置,面积=0 不过如果问 三角形PBQ 面积的最小值,那么就是 a=b的时候了.证明：(a-b)^2>=0 a^2 + b^2 - 2ab >=0 a^2+b^2>=2ab ,.(3) 且等号一定是在a=b的时候成立.由(2)可知,ab + (2-a-b)*2 = 2 ab = 2-2*c 且 c^2 = a^2 + b^2 （3）变成：c^2 >= 4-4c c^2+4c+4>=8 (c+2)^2>=8 c = 2√2-2 三角形PBQ 面积=ch/2 = c/2,最小值是 √2-1 !此时 a =b = c/√2 = 2-√2 可以验算此时满足 a+b+c=2 不知道还有没有更简便的方法.反正找到E点是必不可少的.