欧拉常数有什么用,欧拉常数的计算方法

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欧拉常数(Euler-Mascheroni constant)
　　学过高等数学的人都知道，调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的，证明如下：
　　由于ln(1+1/n)<1/n （n=1，2，3，…）
　　于是调和级数的前n项部分和满足
　　Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
　　=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
　　=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
　　由于
　　lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
　　所以Sn的极限不存在636f70797a6431333236376566，调和级数发散。
　　但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为
　　Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
　　=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
　　由于
　　lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
　　因此Sn有下界
　　而
　　Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
　　=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
　　所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此
　　S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
　　于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以这样做：
　　lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

网友回答

Xavier Gourdon在1999年使用以下算法百计算欧拉常数到了108,000,000位：
　　对给定的 ，计算：
　　
　　则有
　　其中度，
　　 = 4.970625759544232... 满足方程 。
　　对给定的，此方法可以回得到接近答 位的十进制小数精度。