已知函数f（x）=x2-（k-2）x+k2+3k+5有两个零点：（1）若函数的两个零点是-1和-3，求k的值；（2）若函数的两个零点是α和β，求α2+β2的取值范围．

网友回答

解：（1）：∵-1和-3是函数f（x）的两个零点
∴-1和-3是方程x2-（k-2）x+k2+3k+5=0的两个实数根
则：解的k=-2
（2）：若函数的两个零点为α和β，
则α和β是方程x2-（k-2）x+k2+3k+5=0的两根
∴
则
∴
即：
解析分析：（1）由题意得，函数的零点就是方程的根，即方程x2-（k-2）x+k2+3k+5=0的两个根是-1和-3，根据根与系数的关系可得k的值，
（2）由题中条件：“函数的两个零点是α和β”得α和β是方程x2-（k-2）x+k2+3k+5=0的两根，利用根与系数的关系表示出α2+β2，最后结合根的判别为非负数的条件求出一个二次函数的最值即得．

点评：本题主要考查了函数的零点，我们把函数y=f（x）的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点（the zero of the function），即方程的根． f（x）的零点就是方程f（x）=0的解．这样就为我们提供了一个通过函数性质确定方程的途径．函数的零点个数就决定了相应方程实数解的个数．