已知：Rt△ABC的三边长均为整数，点A（4，0），B（0，3）．若点C在第一象限内且在反比例函数的图象上，则k的值为________．

网友回答

12，，，
解析分析：如果求出了C点的坐标，那么只需将C点的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k的值．由于AB=5，所以当Rt△ABC的三边长均为整数时，分AB为斜边和AB为直角边进行讨论：①如果AB=5为斜边，那么两条直角边分别为3，4．当AC=3时，易求C（4，3）；当BC=3时，根据直角三角形的性质及三角函数的定义，可求出C（，）；②如果AB=5为直角边，那么另外两条边分别为12，13．当AC=12时，根据相似三角形的判定与性质可求C（，）；当BC=12时，根据相似三角形的判定与性质可求C（，）．

解答：解：∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∵∠AOB=90°，
∴AB=5．
分两种情况：
①如果AB=5为斜边，那么两条直角边分别为3，4．
当AC=3时，则BC=4，C1点坐标为（4，3），
所以k=4×3=12；
当BC=3时，设AC2与BC1交于点P，过点C2作C2D⊥BC1于D．
由AAS易证△BPC2≌△APC1，则BP=AP，PC2=PC1．
设PC1=x，则AP=BP=4-x，
在△APC1中，由勾股定理，
得x2+32=（4-x）2，解得x=．
则AP=BP=，
∴BD=BC2?cos∠C2BD=BC2?cos∠C1AP=3×=，C2D=BC2?sin∠C2BD=BC2?sin∠C1AP=3×=，
∴OB+C2D=3+=，
∴C2点坐标为（，），
∴k=×=；
②如果AB=5为直角边，那么另外两条边分别为12，13．
当AC=12时，∠BAC=90°．过点C3作C3D⊥x轴于D．
∵∠C3DA=∠AOB=90°，∠C3AD=∠ABO=90°-∠OAB，
∴△C3DA∽△AOB，
∴C3D：AO=DA：OB=C3A：AB，
即C3D：4=DA：3=12：5，
∴C3D=，DA=，
∴OD=OA+AD=4+=，
∴C3点坐标（，），
∴k=×=；
当BC=12时，∠ABC=90°．过点C4作C4D⊥y轴于D．
∵∠C4DB=∠BOA=90°，∠C4BD=∠OAB=90°-∠ABO，
∴△C4DB∽△BOA，
∴C4D：BO=DB：OA=C4B：BA，
即C4D：3=DB：4=12：5，
∴C4D=，DB=，
∴OD=OB+BD=3+=，
∴C4点坐标（，），
∴k=×=．
综上可知，k的值为12，，，．
故