如图,B,C在⊙O上,△OBC是等边三角形,BA⊥OC于点D,交⊙O于点A,过点A作⊙O的切线交BC的延长线,直径BG的延长线分别为点E、F,
(1)求证:△BEF是直角三角形;
(2)若=,求线段AE的长.
网友回答
(1)证明:连接AC,AO
∵BD是等边三角形△OCB的OC边上的高
∴∠CBA=∠ABF=30°
∵∠COA=∠AOF=(180°-∠BOA)÷2=60°
∴∠CAO=∠ACO=∠BCO=60°
∵AE为切线,∴∠OAE=90°
∴∠CAE=30°
∴∠E=180°-∠CAE-∠ECA=90°
即△BEF是直角三角形.
(2)解:∵弧AG=60×π×OA÷180=2π÷3
∴OA=AC=2
∴AE=ACsin60°=.
解析分析:(1)连接AC,AO,由于BD是等边三角形△OCB的OC边上的高,由等腰三角形的性质,底边上的高与顶角的平分线重合知,∠CBA=∠ABF=30°,由圆周角定理知,点A是弧CAG的中点,则有∠COA=∠AOF=(180°-∠BOA)÷2=60°,则△OCA也为等边三角形,有∠CAO=∠ACO=∠BCO=60°,由于AE为切线,由切线的性质知,∠OAE=90°,有∠CAE=30°得到△BEF是直角三角形,
(2)由弧长公式知,弧AG=60×π×OA÷180=2π÷3,得到圆的半径OA=AC=2,则AE=.
点评:本题利用了切线的性质,等边三角形的判定和性质,圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,弧长公式,正弦的概念求解.