如图,已知反比例函数的图象经过点(,8),直线y=-x+b经过该反比例函数图象上的点Q(4,m).
(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式;
(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点,与反比例函数图象的另一个交点为P,连接0P、OQ,求△OPQ的面积.
(3)根据图象回答:当x为何值时,一次函数的函数值不小于反比例函数的函数值.
网友回答
解:(1)将x=,y=8代入反比例解析式得:8==4,即k=4;
∴反比例解析式为y=,将Q坐标代入反比例解析式得:m=1,
∴Q(4,1),
将Q坐标代入直线解析式得:1=-4+b,即b=5,
故直线解析式为y=-x+5;
(2)将两函数解析式联立得:,
解得:或,
∴P(1,4),
对于直线y=-x+5,令x=0,求得y=5,令y=0求得x=5,
∴A(5,0),B(0,5),又P(1,4),Q(4,1),
∴OA=5,OB=5,
∴S△OPQ=S△AOB-S△BOP-S△AOQ
=OA?OB-OB?xP横坐标-OA?xQ纵坐标
=×5×5-×5×1-×5×1
=7.5;
(3)由图象可得:当1≤x≤4或x<0时,一次函数的函数值不小于反比例函数的函数值.
解析分析:(1)将点(,8)代入反比例解析式中求出k的值,确定出反比例解析式,将Q坐标代入反比例解析式求出m的值,确定出Q坐标,将Q坐标代入直线解析式中求出b的值,即可确定出直线解析式;
(2)对于直线AB,令x=0求出对应y的值,确定出B的坐标;令y=0求出对应x的值,确定出A的坐标,进而得出OA与OB的长,三角形OPQ的面积=直角三角形AOB的面积-三角形BOP的面积-三角形AOQ的面积,求出即可;
(3)由P与Q的横坐标,利用函数图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可.
点评:此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,涉及的知识有:待定系数法确定函数解析式,数形结合的思想,坐标与图形性质,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.