如图1，在平面直角坐标系xOy中，以y轴正半轴上一点A（0，m）（m为非零常数）为端点，作与y轴正方向夹角为60°的射线l，在l上取点B，使AB=4k?（k为正整数），并在l下方作∠ABC=120°，BC=2OA，线段AB，OC的中点分别为D，E．
（1）当m=4，k=1时，直接写出B，C两点的坐标；
（2）若抛物线的顶点恰好为D点，且DE=，求抛物线的解析式及此时cos∠ODE的值；
（3）当k=1时，记线段AB，OC的中点分别为D1，E1，当k=3时，记线段AB，OC的中点分别为D3，E3，求直线E1E3的解析式及四边形
D1D3E3E1的面积（用含m的代数式表示）．
网友回答
解：（1）B点的坐标为（2，6），C点的坐标为（4，2）；
过点B作BF∥x轴，交y轴于点F，过点C作HG⊥x轴，垂足为G，交直线BF于点H，
∵当m=4，k=1时，A（0，m），AB=4，
∴AF=AB?cos∠EAB=4×cos60°=2，BF=AB?sin60°=4×=2，
∴OF=4+2=6，
∴B（2，6），
同理可得出C点坐标为（4，2）；
（2）当AB=4k，A（0，m）时，OA=m，与（1）同理可得B点的坐标为，
C点的坐标为．
如图1，过点B作y轴的垂线，垂足为F，过点C作x轴的垂线，垂足为G，
两条垂线的交点为H，作DM⊥FH于点M，EN⊥OG于点N．
由三角形中位线的性质可得点D的坐标为，点E的坐标为．
根据坐标系中两点间距离公式和勾股定理得．
∵DE=，∴m=4．
∵D恰为抛物线的顶点，它的顶点横坐标为，
∴．
解得k=1．此时抛物线的解析式．
此时D，E两点的坐标分别为，．
∴，．
∴OD=OE=DE．
∴此时△ODE为等边三角形，cos∠ODE=cos60°=；
（3）E1，E3点的坐标分别为，E3．
设直线E1E3的解析式为y=ax+b（a≠0）．
则解得
∴直线E1E3的解析式为．
可得直线E1E3与y轴正方向的夹角等于60°．
∵直线D1D3，E1E3与y轴正方向的夹角都等于60°，
∴D1D3∥E1E3．
∵D1，D3两点的坐标分别为，，
由勾股定理得D1D3=4，E1E3=4．
∴D1D3=E1E3．
∴四边形D1D3E3E1为平行四边形．
设直线E1E3与y轴的交点为P，作AQ⊥E1E3于Q．
可得点P的坐标为．
∴．
∴．
解析分析：（1）本题须分别求出点B、C到x轴和y轴的距离即可求出两点的坐标．
（2）本题须先求出B点的坐标和C点的坐标，然后根据三角形中位线的性质得出点D和E的坐标，再根据D恰为抛物线的顶点即可得出抛物线的解析式，最后根据OD=OE=DE得出△ODE为等边三角形，从而可以得出cos∠ODE的值．
（3）本题须先分别求出E1，E3点的坐标然后即可得出直线E1E3的解析式，再根据D1D3=E1E3证出四边形D1D3E3E1为平行四边形，最后通过解直角三角形得出AQ的长，即可求出四边形D1D3E3E1的面积．
点评：本题着重考查了二次函数综合应用，在解题时要注意与平行四边形的判定和性质以及如何求面积相结合，本题综合性强，运用数形结合的数学思想方法解题是本题的关键．