对于函数f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的不动点，（1）设f（x）=x2-2，求函数f（x）的不动点；（2）设f（x）=ax2+

网友回答

解：（1）由f（x）=x2-2=x，得x=-1，或x=2．
∴f（x）的不动点是-1和2．
（2）因为f（x）=ax2+bx-b对任意实数b，都有两个相异的不动点，
即方程ax2+bx-b=x恒有两个不同解，
∴ax2+（b-1）x-b=0恒有两个不同解
∴△=（b-1）2+4ab＞0恒成立，
∴b2+（4a-2）b+1＞0恒成立，
∴（4a-2）2-4＜0，
解得0＜a＜1．
故实数a的取值范围是（0，1）．
（3）证明：∵奇函数f（x）（x∈R）存在K个不动点，
对于f（x）上任意不动点（x0，x0），有f（x0）=x0，
∵f（x）是奇函数，∴f（-x0）=-f（x0）=-x0，
∴（-x0，-x0）也是f（x）上的不动点，
即：x0≠0时，f（x）的不动点必成对出现
∵（0，0）是f（x）的不动点
所以，f（x）不动点的个数k必为奇数．
解析分析：（1）由f（x）=x2-2=x，能求出f（x）的不动点．
（2）由f（x）=ax2+bx-b，对任意实数b，都有两个相异的不动点，知方程ax2+bx-b=x恒有两个不同解，故ax2+（b-1）x-b=0恒有两个不同解，故△=（b-1）2+4ab＞0恒成立，由此能求出实数a的取值范围．
（3）对于f（x）上任意不动点（x0，x0），有f（x0）=x0，由f（x）是奇函数，知f（-x0）=-f（x0）=-x0，故（-x0，-x0）也是f（x）上的不动点，再由（0，0）是f（x）的不动点，知f（x）不动点的个数k必为奇数．

点评：本题考查函数的恒成立问题的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．