发布时间：2021-02-19 23:12:40
. (本小题满分14分)
第21题
设双曲线=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.
(1) 证明：无论P点在什么位置，总有||2 = |·| ( O为坐标原点)；
(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；
(Ⅰ) 略 (Ⅱ) e >
：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y = (x – a ),
解得：= (,), 同理可得= (,),
∴|·| =|+| =. 4分
设 = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:
m2 =, n2 = ,
∴ ||2 = :m2 + n2 = + = ,
∵点P在双曲线上，∴b2 – a2k2 > 0 .
∴无论P点在什么位置，总有||2 = |·| . 4分
（2）由条件得：= 4ab, 2分
即k2 = > 0 , ∴ 4b > a, 得e > 2分