已知函数f（x）=x2+ax，且对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立．（1）求实数a的值

网友回答

（1）由f（1+x）=f（1-x）得，
（1+x）2+a（1+x）=（1-x）2+a（1-x），
整理得：（a+2）x=0，
由于对任意的x都成立，∴a=-2．
（2）根据（1）可知f（x）=x2-2x，下面证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
设x1＞x2≥1，则f（x1）-f（x2）=（x12-2x1）-（x22-2x2）
=（x12-x22）-2（x1-x2）
=（x1-x2）（x1+x2-2）
∵x1＞x2≥1，则x1-x2＞0，且x1+x2-2＞2-2=0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
已知二次函数f(x)=x2+ax且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立
第一种解法：说明函数关于x=1对称。则-a/2=1,所以a=-2
第二种解法：直接计算（1+X）^2+a(1+x)=（1-X）^2+a(1-x)
可以得到a=-2
知道了函数的解析式，然后用单调性的定义证明应该不是难题。按基本格式走就可以。这个你可以推到出来。
供参考答案2:
(1) 这是一个对称函数，f（x）关于x=1对称，
f（x）=（x+a/2）^2-a^2/4
所以-a/2=1
a=-2(2) 由于二次函数f（x）的开口向上，对称抽为x=1，所以在（1，+x）范围内是增函数。。。