如图,已知:AB是⊙O的直径,AC是弦,CD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,∠ACD=120°,BD=5.(1)求证:CA=CD;(2)求⊙O的半径.

发布时间:2020-08-13 07:46:16

如图,已知:AB是⊙O的直径,AC是弦,CD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,∠ACD=120°,BD=5.
(1)求证:CA=CD;
(2)求⊙O的半径.

网友回答

(1)证明:连接OC,
∵CD切⊙O于点C,
∴∠OCD=90°,
∵∠ACD=120°,
∴∠ACO=30°,
∵AB是⊙O的直径,
∴OA=OC=OB,
∴∠A=30°,
∴∠D=30°,
∴CA=CD,

(2)解:∵在Rt△OCD中,∠D=30°,
∴2OC=OD,
∵OB=OC,BD=5,
∴OD=5+OC,
∴2OC=5+OC,
∴OC=5,即⊙O的半径为5.
解析分析:(1)连接OC,构建直角三角形,根据切线的性质,推出∠A,∠D的度数,即可推出结论,(2)根据(1)所推出的结论进行等量代换得,2OC=5+OC,然后根据∠D的度数,依据特殊角的三角函数,即可推出OC的长度,即⊙O的半径.

点评:本题主要考查切线的性质,圆周角定理,解直角三角形,关键在于通过作辅助线OC构建直角三角形,求出∠D、∠A的度数.
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