如图1所示，点A为双曲线上一点，过点A作AD⊥y轴于D点，连接AO．
（1）若△ADO的面积为3，求反比例函数的解析式；
（2）如图2所示，在（1）的条件下，以A为直角顶点作等腰Rt△ABC，其中点B在x轴的负半轴，点C在x轴的正半轴，求OC2-OB2的值；
（3）如图3所示，在（1）的条件下，若B点的坐标为B（-1，0），双曲线上是否存在一点P，连接AO、PO，使得∠AOP=45°？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
网友回答
解：（1）设A（a，），则AD=a，OD=，
∵S△ADO=3，
∴a?=3，
解得k=6，
∴此函数的解析式为：y=；
（2）作AM⊥x轴于点M，设A（a，b），则OM=a，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AM=BM=CM=b，
∴OC2-OB2=（OM+CM）2-（BM-OM）2，
=（a+b）2-（b-a）2
=4ab
=4×6
=24；
（3）由（2）知，OC2-OB2=24，
∵B（-1，0），
∴OB=1，
∴OC=5，
作MA⊥OA交OP于M，连接CM，则∠2+∠OAC=90°，
∵∠1+∠OAC=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠AOP=45°，∠OAM=90°，
∴OA=AM，
∵AB=AC，
∴，
∴△AOB≌△AMC（SAS），
∴CM=OB=1，∠ABO=∠ACM=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠MCB=∠ACB+∠ACM=90°
∴CM⊥OC，
∴M（5，1），
设直线OM的解析式为y=kx（k≠0），
∴1=5k，解得k=，
∴直线OM的解析式为y=x，
把两解析式联立得，，
解得或（舍去），
∴P（，），
∴存在点P使∠AOP=45°．
解析分析：（1）设A（a，），则AD=a，OD=，再由S△ADO=3即可得出k的值，进而得出结论；
（2）作AM⊥x轴于点M，设A（a，b），则OM=a，由△ABC为等腰直角三角形可知AM=BM=CM=b，再由OC2-OB2=（OM+CM）2-（BM-OM）2即可得出结论；
（3）由（2）知，OC2-OB2=24，由B（-1，0）可得出OB，OC=5的长，作MA⊥OA交OP于M，连接CM，则∠2+∠OAC=90°，再由∠1+∠OAC=90°可知∠1=∠2，由∠AOP=45°，∠OAM=90°，可得出OA=AM，由AB=AC，可知△AOB≌△AMC，所以CM=OB=1，∠ABO=∠ACM=45°，∠MCB=∠ACB+∠ACM=90°再由CM⊥OC可得出M的坐标，设直线OM的解析式为y=kx（k≠0），把M点的坐标代入可求出k的值，进而得出其解析式，再联立正比例函数与反比例函数的解析式，故直线OM的解析式为y=x，由此可得出P点坐标，进而可得出结论．．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数求一次函数及反比例函数的解析式，难度适中．