已知定义在R上的函数f（x）=x2|x-a|（a∈R）．（1）判定f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a≠0时，是否存在一点M（t，0），使f（x）的图象关于点M对

网友回答

解：（1）a=0时，f（x）为偶函数；a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．
（2）不存在．
假设存在一点M0（t0，0）使f（x）的图象关于点M对称，
则对x∈R应恒有f（t0+x）=-f（t0-x）．
当t0=a时，取x=a，
则f（2a）=-f（0）=0，∴4a2|a|=0，∴a=0这与a≠0矛盾．当t0≠a时，
取x=a-t0，
则f（a）=-f（2t0-a）=0．∴（2t0-a）2|2t0-2a|=0，∵2t0-2a≠0，∴．而时，取x=0，
则即．∴这也与已知矛盾．
综上，不存在这样的点M．
解析分析：（1）根据f（x）=x2|x-a|（a∈R），可对a分类讨论，根据函数奇偶性的定义即可判断；
（2）可假设存在一点M（t0，0）使f（x）的图象关于点M对称，故f（t0+x）=-f（t0-x）；
分当t0=a时，取x=a，有f（2a）=-f（0）=0，从而可得a=0，导出矛盾；
当t0≠a时，取x=a-t0，f（a）=-f（2t0-a）=0，可解得，再取x=0，从而可得a=0，导出矛盾；于是可得结论．

点评：本题考查函数奇偶性的判断，难点在于对假设存在一点M0（t0，0）使f（x）的图象关于点M对称，得到f（t0+x）=-f（t0-x）后，对t0分t0=a与t0≠a时的讨论分析，考查学生的分析与转化能力，属于难题．